Typowe zadania z funkcji kwadratowej

Kategorie

Poniżej zamieszczamy dokładnie wytłumaczone typowe zadania z funkcji kwadratowej. Każde zadanie tłumaczymy na kilka możliwych sposobów w niezwykle obrazowy i prosty sposób, tak aby uczeń mógł doskonale zrozumieć dany problem i samemu dobrać najbardziej optymalną dla niego drogę rozwiązania.

1. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale x∈<-1,1> dla ƒ(x)=x²+4x+3

Jest to jeden z popularnych typów zadań związanych bezpośrednio z funkcją kwadratową, w takim zadaniu zawsze powinniśmy policzyć wartości na krańcach przedziału, jest to związane bezpośrednio z tym, iż funkcja kwadratowa jest ciągła w całej swojej dziedzinie, zatem najmniejszą i najmniejszą wartość może mieć bezpośrednio na krańcach przedziału lub w wierzchołku paraboli, zatem:

ƒ(-1)=(-1)²+4⋅(-1)+3=1-4+3=0
ƒ(1)=1²+4⋅1+3=1+4+3=8

Obliczmy teraz parametr p, tak aby móc sprawdzić czy należy on do przedziału x∈<-1,1>

p=-b/2a=-4/2=-2∉<-1,1>

jak widzimy –2 nie należy do naszej zawężonej dziedziny funkcji, zatem z obliczonych wartości funkcji wyższa z nich to wartość maksymalna, a niższa to wartość minimalna Rozwiązaniem alternatywnym byłoby rozwiązanie graficzne:

Odczytujemy przecięcie wykresu ƒ(x) z czerwonymi liniami, które mają za zadanie ograniczyć nasz wykres do zawężonej dziedziny, jak widzimy, wierzchołek paraboli zgodnie z powyższymi obliczeniami znajduję się poza obszarem, który nas interesuje.

Odp.: yMAX=8, yMIN=0

Co jeśli wierzchołek paraboli znajduje się wewnątrz analizowanego obszaru? Spójrzmy na kolejne, lekko zmodyfikowane zadanie poprzednie:

2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale x∈<-4,0> dla ƒ(x)=x²+4x+3

Podobnie jak w poprzednim zadaniu liczymy wartości na krańcach przedziału oraz parametr p:

ƒ(-4)=(-4)²+4⋅(-4)+3=16-16+3=3,
ƒ(0)=0²+4⋅0+3=0+0+3=3.

p=-b/2a=-4/2=-2∈<-4,0>

-2 należy od analizowanego przedziału, zatem naszym zadaniem jest policzenie także parametru q, tzn. wartości naszej funkcji jaką osiąga ona dla wierzchołka paraboli, będzie to wartość najmniejsza, ze względu na a>0, co odpowiada za kształt wykresu w postaci ramion uniesionych w górę, lub żartobliwie mówiąc buźki uśmiechniętej. Parametr q możemy policzyć na dwa sposoby:

q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac=4²-4⋅1⋅3=16-12=4
q=-4/4=-1, lub krócej, jako:
ƒ(p)=ƒ(-2)=(-2)²+4⋅(-2)+3=4-8+3=-1

Zobrazowanie graficzne przedstawionych obliczeń przedstawia poniższy wykres, czerwonymi liniami przedstawiono ponownie ograniczenie wykresu wynikające z zawężenia dziedziny, a kropką tego samego koloru oznaczono wierzchołek paraboli, który będzie stanowił wartość minimalną funkcji, wartości na krańcach przedziału to w obydwu przypadkach 3, więc będzie ona stanowiła maksymalną wartość naszej funkcji:

Odp.: yMAX=3, yMIN=-1

3. Oblicz zbiór wartości oraz podaj przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej ƒ(x)=-x²+x+2

Aby obliczyć zbiór wartości funkcji wystarczy zwrócić uwagę na dwa parametry:

  • Parametr a, decyduje on o kształcie paraboli,
  • Parametr q, decyduje on o najmniejszej wartości funkcji dla a>0, lub o największej wartości funkcji gdy a<0

Zatem zbiór wartości funkcji przedstawia się jako:

  • Y=(-∞,q>, dla a<0, lub
  • Y=<q,+∞), dla a>0.

Z kolei monotoniczność funkcji określamy także na podstawie dwóch parametrów:

  • Parametr a, jak wyżej,
  • Parametr p, decyduje on, dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość min lub max

Zatem wracając do naszego zadania obliczamy wszystkie potrzebne nam wielkości:

q=-Δ/4a,
Δ=b²-4ac=1²-4⋅(-1)⋅2=1+8=9
q=-9/-4=9/4,
p=-b/2a=-1/-2=1/2
a=-1

a=-1 – zatem ramiona naszej paraboli są skierowane w dół, zatem:

Y=(-∞,9/4>
ƒ(x)↑ dla x∈(-∞,1/2>
ƒ(x)↓ dla x∈<1/2,+∞)

Zobrazujmy to na rysunku naszej funkcji, który także może posłużyć jako pomoc w odczytaniu rozwiązania:

Aczkolwiek jak widzimy, ciężko byłoby nam z wykresu odczytać najwyższą wartość naszej funkcji jako 2,25, zatem polecam czytelnikom rozwiązanie algebraiczne.

Dodaj swój komentarz





← Starsze Nowsze →